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Posts Tagged ‘Wes Morriston’

Cerca de um ano atrás, quando a idéia do blog mal amadurecia e eu ainda quedava perplexo com o uso que os apologistas fazem de citações científicas para respaldar seus argumentos, li o livro Big Bang – Tudo sobre a mais importante descoberta científica de todos os tempos e por que esse conhecimento é indispensável, a fim de verificar com meus próprios olhos o que a ciência realmente tinha a dizer sobre a origem do universo. Foi uma leitura decepcionante, no sentido de que encontrei pouquíssima coisa que esclarecesse algo na discussão dos argumentos cosmológicos para a existência de Deus. Ao fim e ao cabo, o livro apenas conclui que a teoria do Big Bang é a que melhor explica a evolução do universo (não seu surgimento), mas que, como todo empreendimento científico, ainda possui muitas lacunas cujo preenchimento ficará a cargo das futuras gerações de cosmologistas. De resto, é uma leitura leve e agradável, cheio de divertidas anedotas sobre o submundo dos acalorados debates entre proponentes de teorias científicas concorrentes. Contudo, o livro, pelo menos sobre mim, não causou nem uma sombra do impacto provocado por outro livro do mesmo autor, O último teorema de Fermat, pelo qual tenho um afeto especial, talvez um dia eu conte aqui a história da significância que este livro teve num momento específico de minha vida (significância esta que acontecimentos posteriores infelizmente neutralizaram).

Como se sabe, quando os debates entre os proponentes de um universo eterno e os defensores do modelo do Big Bang começou a pender para o lado dos últimos, o então Papa Pio XII endossou publicamente a teoria, no que foi posteriormente desencorajado por Georges Lemâitre, padre e físico co-autor do modelo do Big Bang. Tal aprovação tinha por base uma compreensão equivocada do que os cosmologistas entendem por “nada”, como pode ser visto pelas duas citações abaixo, que retirei do livro:

George Gamow (físico de origem soviética que, ainda criança, ao fazer a primeira comunhão, correu para casa com fragmentos da hóstia embebida em vinho escondidos na bochecha para examina-los ao microscópio que ganhara de presente do pai a fim de compara-los com o pão e vinho não transubstanciados e não encontrou nenhuma evidência de transformação, o que, segundo ele, foi uma experiência decisiva para que se tornasse um cientista. Suas descobertas sobre a síntese de núcleos atômicos ajudaram a corroborar o modelo do Big Bang):

Em vista das objeções levantadas por alguns críticos em relação ao uso da palavra “criação”, deve ser explicado que o autor usa este termo não no sentido de “produzir alguma coisa a partir do nada”, e sim no de “dar forma a alguma coisa a partir de algo sem forma”, como, por exemplo, na frase, “a última criação da moda parisiense”.

Arthur Eddington (astrofísico britânico divulgador da teoria da relatividade na Inglaterra pós-Primeira Grande Guerra e participante da expedição tropical que em 1919 coletou evidências que corroboraram a Teoria da Relatividade):

Para minha mente, uniformidade não diferenciada e nada não poderiam ser diferenciados filosoficamente.

Abaixo será visto que o argumento de Craig também se baseia numa compreensão errônea, numa verdadeira eisegese, de alguns pontos da teoria do Big Bang.

Os parágrafos finais desta seção do artigo de Morriston de certa forma resgatam um argumento contra a idéia de criação divina que encontrei numa de minhas mais antigas leituras de críticas à racionalidade das crenças religiosas, e que, até conhecer o presente artigo, pensava que se encontrava refutada por nunca ter deparado com ela nos debates contemporâneos sobre o assunto. Em seu Tratado de Metafísica (um livrinho bem curto, meras 26 páginas, encontrado no volume da coleção Os Pensadores dedicado a Voltaire), o célebre iluminista compila resumidamente os principais argumentos favoráveis e contrários à existência de uma divindade nos moldes teístas e as principais objeções que os lados adversários levantavam contra os argumentos do lado contrário. Eis sua formulação das dificuldades encontradas quando se coloca uma divindade imaterial, externa e anterior ao mundo como seu autor:

Se Deus não é o mundo material, ele o criou (ou então, se quiserdes, deu a um outro ser o poder de cria-lo, o que vem a dar no mesmo); mas fazendo esse mundo, ou tirou-o do nada ou tirou-o de seu próprio ser divino. Não pode te-lo tirado do nada porque este não é, não pode te-lo tirado de si próprio porque, então, esse mundo faria essencialmente parte da essência divina e, assim sendo, eu não poderia ter uma idéia da criação, donde se segue que não posso admitir a criação.

Deste raciocínio Voltaire conclui apenas que a criação por Deus não nos é concebível, não que é impossível. Vejamos agora como Morriston debilita as conclusões de W.L. Craig explorando justamente os argumentos que deveriam respalda-las.

6. CRIAÇÃO A PARTIR DO NADA?

Como o título “Philosophical and Scientific Pointers to Creation ex Nihilo” sugere, Craig acredita que pode mostrar, não apenas que o universo foi criado por uma pessoa, mas que foi criado a partir do nada. Seu argumento para essa segunda afirmação apela para uma versão da teoria do Big Bang segundo a qual o universo emergiu de uma partícula infinitamente densa que explodiu há cerca de quinze bilhões de anos atrás.

Esse evento que marcou o início do universo se torna ainda mais fantástico quando refletimos sobre o fato de um estado “infinitamente denso” ser sinônimo de “nada.” Não pode haver nenhum objeto com uma densidade infinita, pois se este tivesse algum tamanho, não seria infinitamente denso. Portanto, como o astrônomo Fred Hoyle destaca, a teoria do Big Bang requer a criação da matéria a partir do nada. Isso ocorre porque à medida em que retrocedemos no tempo, alcançamos um ponto em que, nas palavras de Hoyle, o universo estava “reduzido a absolutamente nada.” Assim, 0 modelo do Big Bang demanda um universo com um início e criado a partir do nada.[19]

O argumento apresentado por Craig nesta passagem pode ser resumido da seguinte maneira:

a. De acordo com a teoria do Big Bang, o universo foi criado a partir de uma partícula infinitamente densa.

b. Não pode existir nenhum objeto de densidade infinita.

c. Logo uma “densidade infinita” é sinônimo de “nada”.

d. Por isso, a teoria do Big Bang implica na criação do universo a partir do nada.

Esse argumento é extremamente confuso. Há uma razão que torna a inferência em c obviamente falsa. “Densidade infinita” não é sinônimo de “nada”, e a singularidade inicial que aparece na teoria do Big Bang não é simplesmente o nada absoluto. Um mero nada não poderia explodir, como supõe-se ter ocorrido com a singularidade inicial. E mesmo se carecesse de extensão espaciotemporal, a singularidade teria outras propriedades. Para os principiantes, ela tinha a propriedade de ser “infinitamente densa”. Sendo, portanto, algo completamente excepcional, e não um simples nada.

Mas isso não é tudo. Se a premissa b é verdadeira – se é mesmo verdade que “não pode haver um objeto de densidade infinita”, então, essa versão da teoria do Big Bang é absolutamentemente falsa, já que afirma que um objeto deste tipo já existiu.

Até agora, então, parece que a teoria do Big Bang não forneceu respaldo algum para a afirmação de que o universo foi criado a partir do nada. Em outro lugar, contudo, Craig explica sua posição de forma algo diferente.

Em tal modelo o universo origina-se ex nihilo no sentido de que na singularidade inicial é verdadeiro que Não existe ponto espaçotemporal anterior ou é falso que Alguma coisa existia anterior à singularidade.[20]

Nessa passagem, Craig não nega que uma partícula infinitamente densa poderia existir. Tampouco fala que a “singularidade inicial” é um mero “nada.” O que ele diz, pelo contrário, é que nada precede a singularidade inicial no tempo, e que, supostamente, isso mostra que a singularidade inicial foi criada a partir do nada. O argumento segue dessa forma:

e. A singularidade existiu no mais antigo ponto do espaço-tempo.

f. Não existe tempo anterior ao mais antigo ponto do espaço-tempo.

g. Logo, não houve nada temporalmente anterior à singularidade inicial.

h. Portanto, a singularidade inicial deve ter sido criada a partir do nada.

Existem pelos menos dois problemas com esse argumento. Por razões já apresentadas na seção 3, não penso que a teoria do Big Bang implique a veracidade da premissa f. Mesmo se concedêssemos que o espaço-tempo começou com a singularidade, isso não implicaria que o tempo metafísico começou com o primeiro momento do espaço-tempo. Recordando que na visão de Craig, Deus poderia ter criado o tempo antes de criar o espaço-tempo de nosso universo. Isso implica que poderia ter existido algo anterior ao mais antigo ponto no espaço-tempo (t=0), e nesse caso a premissa f seria falsa. De toda maneira, a premissa f poderia ser verdadeira – o tempo metafísico e o espaço-tempo poderiam ter começado juntos. Mas já que a teoria do Big Bang não diz nada sobre o tempo metafísico, Craig não pode afirmar consistentemente que essa teoria mostra que isso ocorreu com o tempo metafísico.

Mas suponha que o primeiro momento do tempo metafísico coincida com o t = 0 do espaço-tempo de nosso universo. Isso ainda não nos dá uma criação ex nihilo. Apenas nos mostra que nosso universo não teria sido criado a partir de algo existente antes de t = 0. Com isso o passo h do argumento não segue de f sem uma premissa adicional:

i. Se não houve nada temporalmente anterior à singularidade inicial, então ela foi criada a partir do nada.

Mas que razões temos para pensar que esta premissa adicional seja verdadeira? Por que não poderia a singularidade inicial ter sido criada a partir de alguma coisa que exista atemporalmente? Isso vai depender do tipo de coisas existentes fora do tempo. De acordo com Craig, nós sabemos que Deus, como causa primeira do universo, existiu fora do tempo e “antes” da criação do universo. Mas por que supor que Deus é o único ser que existe fora do tempo? Por que também não poderia ter existido uma “substância” atemporal que Deus transformou num universo?

Craig acha que pode descartar essa possibilidade com base no fato de que matéria e energia são temporais por natureza. Mas por que supor que estas seriam as únicas “matérias-primas” possíveis a partir das quais Deus poderia fazer o universo? É verdade que não estamos familiarizados com nenhuma “matéria-prima” atemporal que poderia ter desempenhado este papel. Mas, da mesma forma, não não possuímos experiência com nenhuma pessoa atemporal, e Craig não vê problema algum com essa idéia. Então, por que não poderia ter existido uma “substância” atemporal com a qual Deus poderia ter feito seu trabalho?

Não estou propondo isto como uma hipótese particularmente provável. Parece-me que nós definitivamente não dispomos de dados suficientes para decidir a partir de que (se é que houve qualquer coisa) Deus (se Ele existir) pode ter feito o universo. Como um sábio filósofo disse certa vez, “Nossa corda é muito curta para sondar tal abismo.”[21] Estou certo de uma coisa – a teoria do Big Bang não resolve o problema favoravelmente à criação ex nihilo.

Questões sobre o artigo

1. Por que Craig pensa que a criação ex nihilo  resulta do modelo do Big Bang da origem do universo? Quais são as principais objeções de Morriston aos argumentos para esta alegação?

2. Seria a criação a partir do nada mais inteligível do que a criação pelo nada? Que implicações tem sua resposta para a premissa 1 do argumento kalam?

Notas.

[19] “Philosophical and Scientific Pointers to Creation ex Nihilo”, 192.

[20] “The Ultimate Question of Origins: God and the Beginning of the Universe”, Astrophysics and Space Science 269-270 (1999), 723-740.

[21] David Hume, Investigação sobre o entendimento humano, seção 7, parte 1.

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Tradução publicada originalmente pela Liga Humanista do Ceará.

Republicada pela  Sociedade Racionalista.

Artigo original em inglês: http://spot.colorado.edu/~morristo/kalam-not.pdf ———————————————————————————————————————————————————————————————————-

Wes Morriston

Em 1972, Wes Morriston recebeu seu título de Ph.D. em Filosofia pela Northwestern University. Desde então ensina filosofia na Universidade do Colorado-Boulder. Ele publicou artigos sobre diversos tópicos em filosofia da religião. Nesta seleção, Morriston primeiro explica que a versão de William Lane Craig do Argumento Cosmológico Kalam tenta estabelecer (1) que a série de todos os eventos passados deve possuir um começo; (2) que existe uma Causa Primeira desta série de eventos; (3) que a Causa Primeira é uma pessoa atemporal; e (4) que esta pessoa criou o universo a partir de nada. Morriston então levanta objeções contra os argumentos de Craig para todas estas conclusões. Ele tenta mostrar (1) que nenhum de seus argumentos filosóficos contra a possibilidade de um passado infinito é bem sucedido; (2) que não é nem um pouco óbvio que o começo da série temporal inteira (mesmo que ela tenha um) deve ser uma causa; (3) que o argumento de Craig para a afirmação de que a Causa Primeira é uma pessoa não pode ser sustentado no contexto do tipo de teísmo que ele próprio deseja defender; e (4) que os argumentos de Craig para a criação ex nihilo não são sólidos. Morriston não oferece uma explanação alternativa do universo – sugerindo em vez disso que simplesmente não sabemos o suficiente para responder satisfatoriamente às árduas questões que somos capazes de levantar acerca da origem do mundo natural.

Introdução

O Argumento Cosmológico Kalam (ACK)[1] possui duas partes. A primeira tenta mostrar que existe uma Causa Primeira para o universo e pode ser resumida a contento da seguinte maneira:

1. Tudo que começa a existir tem uma causa para sua existência.

2. O universo começou a existir.

3. Logo, o universo tem uma causa para sua existência.

A segunda (e muito menos simples e direta) parte de ACK tenta mostrar que a causa do universo é uma pessoa poderosa – algo como o Deus do teísmo clássico. Apenas uma causa pessoal, segunda o ACK, poderia produzir um universo cujo tempo teve um início.

Em “Philosophical and Scientific Pointers to Creation ex Nihilo”[2], Willian Lane Craig defende vigorosamente ambas as partes do AKC. Acreditando que a premissa 1 acima é tão obviamente verdadeira que nenhuma pessoa em sã consciência poderia questiona-la, ele concentra a maior parte de seus esforços na premissa 2, oferecendo dois argumentos filosóficos contra a possibilidade de um passado infinito. Ele também destaca a “confirmação científica” para a afirmação de que o universo teve um começo. Finalmente, Craig rapidamente apresenta a segunda parte do ACK, argumentando (1) que a causa do universo deve ser eterna, e (2) que uma causa eterna de algo que começa a existir poderia ser apenas uma pessoa.

No presente artigo, levantarei uma série de objeções contra ambas as partes do ACK. Tentarei mostrar (1) que elas dependem fortemente dos dois argumentos filosóficos contra o passado infinito; (2) que nenhum dos argumentos filosóficos contra o passado infinito são bem sucedidos; (3) que quando estes são aplicados para eventos ocorrendo no começo dos tempos, a premissa 1 é muito mais problemática do que Craig está disposto a reconhecer; (4) que o argumento não oferece evidência alguma para criação a partir do nada; e (5) que o argumento para a afirmação de que a Causa Primeira deve ser uma pessoa não pode ser sustentado no contexto do tipo de teísmo que o próprio Craig deseja defender.

1. PRIMEIRO ARGUMENTO FILOSÓFICO CONTRA O PASSADO INFINITO.

Se a série de eventos passados não tem início, o passado consistiria de uma infinita série de eventos, todos os quais teriam realmente ocorrido. Isso é possível? Craig pensa que não. Uma série de infinitos eventos já ocorridos seria um conjunto  infinito real, e ele acredita que um infinito real não pode existir concretamente.

Para nos convencer disso, Craig pede para imaginarmos uma biblioteca contendo uma infinidade de livros, numerados a partir de zero. Tal biblioteca teria algumas propriedades bastante peculiares. Por exemplo, alguém poderia adicionar um número infinito de livros a tal biblioteca sem aumentar o número de livros nela. Alguém poderia remover os três primeiros livros , e a biblioteca não teria nenhum livro a menos. Craig pensa que é óbvio que tal biblioteca não pode existir na realidade. E nem mesmo Deus seria capaz de criar uma biblioteca com infinitos livros.

Façamos uma pausa, e tentemos ver o que está acontecendo. Por que a biblioteca não teria qualquer livro a mais, independente de quantos livros forem adicionados à coleção? Por que ela não teria livros a menos mesmo se certos livros fossem removidos? A razão é que existe uma “Correspondência um a um” entre o conjunto de livros na biblioteca anterior e o conjunto de livros posterior à mudança.

Para ver como isso funciona, suponha que todos os livros de números ímpares tenham sido removidos. Podemos mapear a coleção de livros obtida após a remoção (B = conjunto só com números pares) com a coleção anterior à remoção (A = conjunto com ímpares e pares) da seguinte maneira : deixemos o livro #0 de (B) correspondendo ao livro #0 de (A), o livro 2# de (B) com o livro 1# de (A), o livro 4# de (B) com o livro 2# de (A), e assim por diante. Temos então uma correspondência um a um (biunívoca) entre os livros da coleção anterior e os da coleção posterior à remoção de todos os ímpares.

Agora, segundo o Princípio da Correspondência (PC), como é chamado pelos matemáticos, temos:

PC: Se dois conjuntos podem ser colocados numa correspondência um a um (biunívoca), eles precisam ter o mesmo número de elementos.

Isso implica que não existem menos livros na coleção que teve todos os seus membros ímpares removidos.

Craig considera isso absurdo –  deveríamos ter um número maior de livros ímpares e pares na coleção anterior à remoção do que o número de livros pares na nova coleção. Então ele conclui que deve haver algo de errado com toda a ideia de uma coleção infinita. Tais coleções simplesmente não podem existir na realidade.

O argumento de Craig neste ponto assume como verdadeiro um princípio geral que merece ser explicitado. Denominado por ele como “Máxima de Euclides” (ME) (Após o quinto axioma de Euclides).[3]

ME:   O todo é maior do que qualquer uma de suas partes.

Baseando-se em PC e ME, Craig pensa que pode mostrar que não existem conjuntos infinitos reais. Pois, se existissem, poderíamos posicionar todos os seus membros numa correspondência biunívoca com uma mera parte (um subconjunto característico[4]) dele mesmo. A partir de PC resultaria que o conjunto não tem mais membros que suas partes, contrariando a ME.

Segundo Craig, o Princípio da Correspondência (PC) e a Máxima de Euclides (EM) são intuitivamente plausíveis. Ambos são obviamente verdadeiros para todos os conjuntos finitos. Nós encontramos problemas apenas quando tentamos aplicá-los a conjuntos infinitos. Então, a atitude mais racional é simplesmente negar que conjuntos infinitos reais existam concretamente, fora do campo das idéias. E já que a série de eventos passados existe em nossa realidade, Craig conclui que não podem existir infinitos eventos passados. O passado precisa ter um começo – um primeiro evento antes do qual não houveram outros.

Quão forte é o argumento de Craig contra a possibilidade de uma infinito real? A primeira coisa a destacar é que a Máxima de Euclides sobre o todo e as partes não diz nada sobre o número de elementos no conjunto. No máximo, ME implica que, considerado como um todo, um conjunto é maior do que uma mera parte (um “subconjunto característico”) dele. Isso é importante porque o argumento de Craig assume a afirmação de que um conjunto infinito não seria “maior” do que suas partes, e porque existe um sentido perfeitamente simples em que um conjunto infinito é maior do que seus subconjuntos, sendo também maior do que seus subconjuntos com infinitos membros.

O próprio exemplo de Craig irá esclarecer isto. Existe um sentido óbvio em que sua biblioteca imaginária é “maior” do que qualquer uma de suas partes, e isto mesmo que ela não possua um número maior de livros do que o de alguma de suas partes. Por exemplo, a biblioteca como um todo é “maior” (“mais vasta”) do que a parte dela contendo apenas os livros numerados a partir de 3, simplesmente em virtude do fato de ela ter os livros 0, 1 e 2 bem como os livros de número maior. Tudo isso é por si um sentido perfeitamente legítimo da palavra “maior” – logicamente independente da questão, “Qual é o número de livros nos dois conjuntos?”

Existe, então, um sentido honestamente intuitivo em que qualquer conjunto – mesmo um infinito – é “maior” do que  suas partes. Não porque o número de elementos no conjunto maior é necessariamente superior ao número de elementos do conjunto menor – mas simplesmente em virtude do fato de que o maior “contém” todos os elementos do menor e mais alguns que o menor não contém. Isso, por si só, sem qualquer referência ao número de elementos em ambos os conjuntos, é suficiente para tornar um “maior” do que o outro. Quando a palavra “maior” é entendida dessa forma , a biblioteca infinita de Craig não viola o princípio de que “o todo” é maior do que suas “partes”.

Então, a ME por si só não fará o argumento de Craig alçar voo. Seu argumento exige algo como o seguinte princípio:

ME*: Um conjunto deve ter um número de elementos maior do que o de qualquer de seus subconjuntos característicos.

Agora todos concordariam que embora ME* seja verdadeira para conjuntos finitos, o mesmo não ocorre com conjuntos infinitos. Mas o que deveríamos concluir disso? Que não podem existir conjuntos infinitos? Ou simplesmente que ME* é verdadeiro para conjuntos finitos, mas não para todos os conjuntos?

Como poderiamos decidir? O apelo de Craig às alegadas  propriedades “absurdas” de um conjunto infinito real não resolverá a questão, já que a “absurdidade” dessas propriedades depende da verdade necessária de ME*.

Aparentemente chegamos a um impasse. Craig pensa que, obviamente , algo como EM* precisa ser verdadeiro para todos os conjuntos, e que por esa razão um infinito real é impossível. Seus oponentes pensam que um infinito real é possível, sendo ME* verdadeiro apenas para conjuntos finitos. Existe alguma maneira de decidir quem está certo?

Uma maneira de quebrar o impasse seria indagar se conhecemos algum conjunto que realmente tem (ou poderia ter) infinitos membros. Vários candidatos foram propostos.[5] Apresentarei apenas um deles.

Considere uma pedaço finito de extensão espacial. Ele pode, como bem sabemos, ser divido em sub-regiões, cada uma das quais pode ser dividida novamente em sub-regiões ainda menores, e assim por diante ad infinitum. Parece, então, que dentro de qualquer região de espaço, existem infinitas sub-regiões.

Craig conhece bem essa alegação. Sua objeção é que o espaço não é composto por pontos.[6]Por isso não existem fronteiras naturais dentro de um certa porção de espaço, daí as várias sub-regiões não existirem como sub-regiões até a divisão ser realmente feita (pelo menos mentalmente). Uma vez que nunca alcançaremos um ponto em que todas as divisões possíveis já foram feitas (sempre poderemos – em princípio – dividir novamente), Craig pensa que o número de sub-regiões é apenas potencialmente infinito. O que nos deixaria sem um bom exemplo de um infinito real.

Penso que Craig está errado quanto a isso. Embora seja verdade que não podemos fazer um número infinito de sub-divisões em uma região do espaço, isso não significa que as sub-regiões não estão antes de qualquer divisão possível. Nem a falta de fronteiras naturais em uma região de espaço resolverá a questão a favor de Craig. O que resulta da ausência de fronteiras naturais é que as infinitas sub-regiões não existem dissociadas de uma maneira especificada de dividir as coisas.

Não é difícil apresentar uma descrição em que o número de sub-divisões co-existentes é infinito. Em vez de realmente dividir um objeto um número determinado de vezes, a especificação para assim dividi-lo não precisa ser formulada uma etapa por vez – pode ser apresentada “de uma tacada só”. Assim como podemos especificar o conjunto dos números naturais todos de uma vez com uma única regra, “iniciando com um, adicionamos outra unidade ao montante ad infinitum“, também sugiro que podemos especificar todas as sub-regiões de uma dada região R de espaço pela regra, “iniciando com R, divido os resultados das últimas divisões pela metade ad infinitum.” Não precisamos nos basear em pontos de divisão naturais dentro de R para aplicar esta regra a R. Tampouco precisamos completar a série de divisões a fim de saber que, segundo esta regra, existe um infinito real – e não meramente um infinito potencial – de sub-regiões.[7]

Questões sobre o artigo

1. O que é a Máxima de Euclides? Como pode ser defendido que um conjunto infinito real não viola este princípio?

Notas.

[1] Assim chamado em reconhecimento aos filósofos islâmicos que primeiro desenvolveram este argumento para a existência de Deus. A palavra “kalam” refere-se a “discurso” ou “dissertação” em árabe, mas tornou-se o nome de uma escola islâmica de teologia que floreceu na Idade Média.

[2] Willian Lane Craig, “Philosophical and Scientific Pointers to Creation ex Nihilo”, in R. Douglas Geivett and Brendan Sweetman, eds., Contemporary Perspectives on Religious Epistemology (New York and Oxford: Oxford University Press, 1992), 185-200.

[3] William Lane Craig (com Quentin Smith), Theism, Atheism, and Big Bang Cosmology, (Oxford: Oxford University Press, 1993), 23ff.

[4] Um conjunto A é um subconjunto característico de um conjunto B se todo elemento de A for um elemento de B, mas nem todo elemento de B for um elemento de A.

[5] Aqui estão alguns outros candidatos. (1) O espaço euclidiano contém infinitas sub-regiões não sobrepostas. O espaço pode não ser euclidiano, mas poderia ter sido. Portanto, um infinito real é pelo menos possível. (2)  Existem infinitos números naturais. Se eles são reais, o conjunto dos números naturais é um infinito real. (3) Craig pensa que o futuro é infinito, e que existe um conjunto completo de fatos conhecidos por Deus sobre este futuro infinito. Ela argumenta que isso é apenas um infinito potencial, com base no fato do futuro não ser “real.” Essa é uma afirmação muito controversa – mas ainda que seja concedida, ainda pode parecer que Craig está comprometido com a idéia de que o conjunto de fatos sobre o futuro é realmente infinito. Naturalmente, Craig tem algo a dizer sobre estes candidatos a um infinito real, mas limitações de espaço impedem uma abordagem satisfatória da questão aqui.

[6] Veja Willian lane Craig e Michael Tooley, um clássico debate sobre a existência de Deus: http://www.leaderu.com/offices/billcraig/docs/craig-tooley0.html

[7] Para um tratamento mais completo do argumento de Craig contra a possibilidade de um infinito real, veja Wes Morriston, “Craig sobre o Infinito Real“.

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